3ENP METODOS NUMERICOS: Series de Taylor

Una serie es una suma de infinitos términos ligados por determinada ley de formación. Generalmente, una serie puede expresarse de dos formas equivalentes. Ellas son:

Ø     La forma extendida: Es aquella mediante la cual se exhiben algunos términos de la serie. Matemáticamente, se expresa así:

a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …

Ø     La forma simplificada: Es aquella que presenta de forma sintética todos los términos de una serie. Para ello, se utiliza el símbolo de sumatoria, es decir,

En la práctica se plantean ejercicios donde se pide obtener la forma simplificada a partir de la forma extendida y viceversa, puesto que como se indicó anteriormente, ambas formas son equivalentes.

De todos los tipos de series que existen, a continuación estudiaremos unas series especiales conocidas “Series Geométricas”. Éstas se caracterizan por su forma de construcción.  La misma se detalla a continuación:

Cada uno de los términos de una serie geométrica se halla multiplicando una constante (a), por una razón(r). Luego se vuelve a multiplicar por esa razón, consiguiendo de esta manera cada uno de los términos. Para ilustrar el proceso de formación de una serie, se analizará la siguiente situación:

Supóngase que se tiene una constante: a = 2  y una razón:   r = 1/4

Con esos 2 parámetros se puede construir una serie geométrica de la siguiente manera.

Uno de los elementos  de estudio más resaltantes de una serie es la Convergencia. Existe un criterio sencillo que permite determinar, si una serie geométrica converge o no. El termino convergencia significa que la serie infinita puede ser reemplazada por un numero finito.

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

Que puede ser escrito de una manera más compacta como

Donde n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) denota la enésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)⁰ y 0! son ambos definidos como uno. El caso especial, es cuando a = 0, es :

Y se llama serie de Maclaurin.,      Desarrollo alrededor de cero

Recibe el nombre de fórmula de los coeficientes de Taylor, para hallar la serie de Taylor de una función alrededor del cero o de cualquier otro número. Frecuentemente se puede modificar una de las series de Taylor, que ya se conoce, para hallar la serie de Taylor de una función dada y en el caso de que la serie converja, especificar un intervalo de convergencia.

3ENP METODOS NUMERICOS: Ejercicios para calcular redondeo y truncamiento a 4 y 3 decimas

Calcule los errores de redondeo y truncamiento a 4 y 3 décimas de los siguientes números:

- 5.063729
- 98.039923
- 28.282937
- 10.999887
- 92.820274
- 3.4772633
- 12.102940
- 3911.020394
-934.002948
- 51.192341

Saludos...

3enp METODOS NUMERICOS: Errores absoluto y relativo

Ahora que disponemos de una idea correcta de qué es el error y de cual es su origen, podemos formalizar el concepto de error. Generalmente, no conocemos el valor de una cierta magnitud y hemos de conformarnos con un valor aproximado x. Para estimar la magnitud de este error necesitamos dos definiciones básicas:

Error absoluto de x es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado

Error relativo de x es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero con el valor aproximado, tal que el valor aproximado sea diferente de 0.

DIGITOS SIGNIFICATIVOS

Sea x un número real que, en general, tiene una representación decimal infinita. Podemos decir que x ha sido adecuadamente redondeado a un numero con d decimales, al que nominaremos x^(d), si el error de redondeo, es tal que :

Ejemplo 1: Exprese el número x=35.47846 correctamente redondeado a cuatro (x⁽⁴⁾) y tres (x⁽³⁾) decimales. Calcular el error cometido.

Otra forma de obtener el número de cifras significativas es mediante truncamiento, en donde simplemente se eliminan los dígitos de orden inferior.

Ejemplo 2: Exprese el número x=35.47846 truncado a cuatro (x⁽⁴⁾) y tres (x⁽³⁾) decimales. Calcular el error cometido.

3ENP METODOS NUMERICOS: Errores inherentes, de redondeo y de truncamiento

El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene.

Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:

• Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.
• Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema.

Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definición matemática del problema es sólo una aproximación a la situación física real. Estos errores son normalmente despreciables. En aquellos casos en que estos errores no son realmente despreciables, nuestra solución será poco precisa independientemente de la precisión empleada para encontrar las soluciones numéricas.

Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los datos físicos: constantes físicas y datos empíricos. En el caso de errores en la medida de los datos empíricos y teniendo en cuenta su carácter generalmente aleatorio, su tratamiento analítico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado obtenido computacionalmente.

En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son sus fuentes principales:

-        

      Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado cálculos manualmente o empleando una calculadora. El empleo de computadores ha reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan. Sin embargo, no es despreciable la probabilidad de que el programador cometa uno de estos errores (calculando correctamente el resultado erróneo). Más aún, la presencia de bugs no detectados en el compilador o en el software del sistema no es inusual. Cuando no resulta posible verificar que la solución calculada es razonablemente correcta, la probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser ignorada. Sin embargo, no es esta la fuente de error que más nos va a preocupar.

-        El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante algún tipo de aproximación. Generalmente está causado por la sustitución de un infinito (sumatorio o integración) o un infinitesimal (diferenciación) por una aproximación finita. Algunos ejemplos son:

§  El cálculo de una función elemental (por ejemplo, Seno x) empleando sólo n términos de los infinitos que constituyen la expansión en serie de Taylor.

§  Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los valores de la función, como la empleada en la regla del trapezoide.

§  Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por una aproximación (diferencias finitas).Solución de la ecuación f(x) = 0 por el método de Newton-Raphson: proceso iterativo que, en general, converge sólo cuando el número de iteraciones tiende a infinito.

Denominaremos a este error, en todas sus formas, como error por truncamiento, ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito. Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos acotar, este error en cualquier procedimiento numérico.

-        Por último, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión ilimitada. Muchos números requieren infinitos decimales para ser representados correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario redondearlos. Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente, algunas operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar). El error que se introduce al redondear un número se denomina error de redondeo.

3eNP METODOS NUMERICOS: Aproximación Numérica y Error

Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa a un número cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto X, será una mejor aproximación de ese número. Ejemplos:

-        3.1416 es una aproximación numérica de PI

-        2.7183 es una aproximación numérica de e

-        0.333333 es una aproximación numérica de 1/3

El error de aproximación o error numérico es una medida del ajuste de la medida o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores de aproximación es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a como dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del propio algoritmo.

3eNP METODOS NUMERICOS: Precisión y Exactitud

1.1.1.    Precisión y exactitud

Exactitud.- Lo que está más cerca del valor verdadero. Se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con el valor verdadero.

Precisión.- Se refiere a que tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros.

Cifras Significativas.- Es el conjunto de digitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas.

Confiables.- Por que dependen del instrumento de medición empleado.

Necesarias.- Por que depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.

3ENP METODOS NUMERICOS: Punto Flotante

1.1.1.    Aritmética de punto flotante y problemas fundamentales de los métodos numéricos al emplear equipo de computo

Coma flotante o punto flotante es un método de representación de números reales que se puede adaptar al orden de magnitud del valor a representar, usualmente trasladando la coma decimal —mediante un exponente— hacia la posición de la primera cifra significativa del valor.

De esta forma, con un número dado de dígitos representativos se obtiene mayor precisión que con la coma fija, debido a que el valor de estos dígitos es siempre significativo sea el que sea el orden de magnitud del número a representar. Debido a esta adaptación, permite representar un rango mucho mayor de números (determinado por los valores límite que puede tomar el exponente). Su uso es especialmente interesante en la informática pues permite trabajar con números decimales en rangos amplios, aunque también se usa el truncado de decimales.

Una representación en coma flotante se compone de tres números (campos) que siguen el siguiente patrón:

r: valor real del número a representar

m: mantita o significando, dígitos significativos del número. El tamaño máximo de este campo, usualmente fijo y limitado, determina la precisión de la representación. Este campo está usualmente normalizado, es decir, su parte entera sólo consta de un dígito (que será la primera cifra significativa del número a representar).

b: base del sistema de representación (10 en sistema decimal, 8 en sistema octal, 2 en sistema binario, etc)

e: exponente, orden de magnitud del significando. El mínimo y máximo valor posible del exponente determinan el rango de valores representables. Cabe añadir que cuando e vale cero el valor real coincide con el significando.

En ciertos casos se usa , con un cuarta mantita, s, que tiene el valor de 1 ó -1 según el signo del número (que se extrae del significando).

Con el fin de optimizar la notación de cifras de numerosos dígitos, se acude al uso de unidades múltiplos en el caso de ser un valor métrico o a la coma flotante en los demás. Su uso es común en la física por los valores amplios e imprecisos que se acostumbran a obtener. Por esta razón también se incluye cierta permisividad con la inexactitud del valor. El error que puede surgir del empleo de este método se suele combinar al error calculado de los resultados.

El método utilizado es mover la coma a la parte más significativa de la cifra, es decir, variando el peso aritmético de los dígitos que lo componen. Para entender el significado de los números en coma flotante, acudimos a ejemplos más evidentes del sistema decimal:

• Supongamos que tenemos los siguientes números reales: 3135,07; 0,04576 y 69233704,063.
• Tomando de éstos sus 6 dígitos significativos, su conversión a notación de coma flotante normalizada, en donde la coma decimal se sitúa a la derecha del primer dígito, se escribirán 3,13507×10³; 4,57600×10^-2 y 6,92337×10⁷.

Como se observa en estos ejemplos, la coma decimal se ha desplazado hacia la derecha o hacia la izquierda para obtener la misma estructura en la notación. La pérdida de información en el tercer caso es potencialmente despreciable, su error es del 0,001%

3ENP METODOS NUMERICOS: Aproximación Numérica y Error

1.1.1.    Necesidad de uso de la computadora en la solución numérica de problemas de ingeniería

El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadoras. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos.

-        Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

-        Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas… tediosos cálculos aritméticos.

-        Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

-        Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

o   Cálculo de derivadas

o   Integrales

o   Ecuaciones Diferenciales

o   Operaciones con matrices

o   Interpolaciones

o   Ajuste de curvas

o   Polinomios