Métodos Numéricos: Euler

La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado. Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto  como una aproximación al valor deseado  . 

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial  dada   en el punto  .De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es: 

                                                

donde  m  es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es : 

Ahora bien, suponemos que  ,es un punto cercano a  , y por lo tanto estará dado como  . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: 

  

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de  h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia   en  n  partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en  n  pasos, aplicando la fórmula anterior  n  veces de un paso a otro, con la nueva  h  igual  a  . 

En una gráfica, tenemos lo siguiente: 

Ahora bien, sabemos que: 

Para obtener    únicamente hay que pensar que ahora el papel de   lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que: 

  

De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por: 

  

Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de   aplicándola sucesivamente desde   hasta   en pasos de longitud  h.