3eNP METODOS NUMERICOS: Aproximación Numérica y Error

Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa a un número cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto X, será una mejor aproximación de ese número. Ejemplos:

-        3.1416 es una aproximación numérica de PI

-        2.7183 es una aproximación numérica de e

-        0.333333 es una aproximación numérica de 1/3

El error de aproximación o error numérico es una medida del ajuste de la medida o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores de aproximación es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a como dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del propio algoritmo.

3eNP METODOS NUMERICOS: Precisión y Exactitud

1.1.1.    Precisión y exactitud

Exactitud.- Lo que está más cerca del valor verdadero. Se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con el valor verdadero.

Precisión.- Se refiere a que tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros.

Cifras Significativas.- Es el conjunto de digitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas.

Confiables.- Por que dependen del instrumento de medición empleado.

Necesarias.- Por que depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.

3ENP METODOS NUMERICOS: Punto Flotante

1.1.1.    Aritmética de punto flotante y problemas fundamentales de los métodos numéricos al emplear equipo de computo

Coma flotante o punto flotante es un método de representación de números reales que se puede adaptar al orden de magnitud del valor a representar, usualmente trasladando la coma decimal —mediante un exponente— hacia la posición de la primera cifra significativa del valor.

De esta forma, con un número dado de dígitos representativos se obtiene mayor precisión que con la coma fija, debido a que el valor de estos dígitos es siempre significativo sea el que sea el orden de magnitud del número a representar. Debido a esta adaptación, permite representar un rango mucho mayor de números (determinado por los valores límite que puede tomar el exponente). Su uso es especialmente interesante en la informática pues permite trabajar con números decimales en rangos amplios, aunque también se usa el truncado de decimales.

Una representación en coma flotante se compone de tres números (campos) que siguen el siguiente patrón:

r: valor real del número a representar

m: mantita o significando, dígitos significativos del número. El tamaño máximo de este campo, usualmente fijo y limitado, determina la precisión de la representación. Este campo está usualmente normalizado, es decir, su parte entera sólo consta de un dígito (que será la primera cifra significativa del número a representar).

b: base del sistema de representación (10 en sistema decimal, 8 en sistema octal, 2 en sistema binario, etc)

e: exponente, orden de magnitud del significando. El mínimo y máximo valor posible del exponente determinan el rango de valores representables. Cabe añadir que cuando e vale cero el valor real coincide con el significando.

En ciertos casos se usa , con un cuarta mantita, s, que tiene el valor de 1 ó -1 según el signo del número (que se extrae del significando).

Con el fin de optimizar la notación de cifras de numerosos dígitos, se acude al uso de unidades múltiplos en el caso de ser un valor métrico o a la coma flotante en los demás. Su uso es común en la física por los valores amplios e imprecisos que se acostumbran a obtener. Por esta razón también se incluye cierta permisividad con la inexactitud del valor. El error que puede surgir del empleo de este método se suele combinar al error calculado de los resultados.

El método utilizado es mover la coma a la parte más significativa de la cifra, es decir, variando el peso aritmético de los dígitos que lo componen. Para entender el significado de los números en coma flotante, acudimos a ejemplos más evidentes del sistema decimal:

• Supongamos que tenemos los siguientes números reales: 3135,07; 0,04576 y 69233704,063.
• Tomando de éstos sus 6 dígitos significativos, su conversión a notación de coma flotante normalizada, en donde la coma decimal se sitúa a la derecha del primer dígito, se escribirán 3,13507×10³; 4,57600×10^-2 y 6,92337×10⁷.

Como se observa en estos ejemplos, la coma decimal se ha desplazado hacia la derecha o hacia la izquierda para obtener la misma estructura en la notación. La pérdida de información en el tercer caso es potencialmente despreciable, su error es del 0,001%

3ENP METODOS NUMERICOS: Aproximación Numérica y Error

1.1.1.    Necesidad de uso de la computadora en la solución numérica de problemas de ingeniería

El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadoras. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos.

-        Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

-        Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas… tediosos cálculos aritméticos.

-        Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

-        Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

o   Cálculo de derivadas

o   Integrales

o   Ecuaciones Diferenciales

o   Operaciones con matrices

o   Interpolaciones

o   Ajuste de curvas

o   Polinomios

3ENP METODOS NUMERICOS: Introducción

1.     APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES

1.1.  Introducción Histórica.

La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:

• No se adecúan al modelo concreto.
• Su aplicación resulta excesivamente compleja.
• La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior.
• Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.

En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numéricas.