3ENP METODOS NUMERICOS: Series de Taylor

Una serie es una suma de infinitos términos ligados por determinada ley de formación. Generalmente, una serie puede expresarse de dos formas equivalentes. Ellas son:

Ø     La forma extendida: Es aquella mediante la cual se exhiben algunos términos de la serie. Matemáticamente, se expresa así:

a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …

Ø     La forma simplificada: Es aquella que presenta de forma sintética todos los términos de una serie. Para ello, se utiliza el símbolo de sumatoria, es decir,

En la práctica se plantean ejercicios donde se pide obtener la forma simplificada a partir de la forma extendida y viceversa, puesto que como se indicó anteriormente, ambas formas son equivalentes.

De todos los tipos de series que existen, a continuación estudiaremos unas series especiales conocidas “Series Geométricas”. Éstas se caracterizan por su forma de construcción.  La misma se detalla a continuación:

Cada uno de los términos de una serie geométrica se halla multiplicando una constante (a), por una razón(r). Luego se vuelve a multiplicar por esa razón, consiguiendo de esta manera cada uno de los términos. Para ilustrar el proceso de formación de una serie, se analizará la siguiente situación:

Supóngase que se tiene una constante: a = 2  y una razón:   r = 1/4

Con esos 2 parámetros se puede construir una serie geométrica de la siguiente manera.

Uno de los elementos  de estudio más resaltantes de una serie es la Convergencia. Existe un criterio sencillo que permite determinar, si una serie geométrica converge o no. El termino convergencia significa que la serie infinita puede ser reemplazada por un numero finito.

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

Que puede ser escrito de una manera más compacta como

Donde n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) denota la enésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)⁰ y 0! son ambos definidos como uno. El caso especial, es cuando a = 0, es :

Y se llama serie de Maclaurin.,      Desarrollo alrededor de cero

Recibe el nombre de fórmula de los coeficientes de Taylor, para hallar la serie de Taylor de una función alrededor del cero o de cualquier otro número. Frecuentemente se puede modificar una de las series de Taylor, que ya se conoce, para hallar la serie de Taylor de una función dada y en el caso de que la serie converja, especificar un intervalo de convergencia.